Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Trouvez 199² mod 8 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 8
199² mod 8 =
2.Facile
aqbr123=?·69+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(123, 69).

a = 123b = 69
gcd(123, 69) =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 81 modulo 83 : le nombre x avec 0 < x < 83 et 81·x ≡ 1 (mod 83).

a = 81n = 83
81−1 mod 83 =
4.Moyen

Trouvez le plus petit entier positif x tel que x ≡ 1 (mod 3) et x ≡ 11 (mod 13).

x ≡ 1 (mod 3)x ≡ 11 (mod 13)
x =
5.Difficile
mc = me​ mod n1670m = cd​ mod n?(n, e) = (1739, 19)d

Une clé RSA utilise p = 37, q = 47 et e = 19. Déchiffrez le chiffré c = 1670 : trouvez le message m.

p = 37q = 47e = 19c = 1670
m =
6.Difficile

71 est premier. Utilisez le petit théorème de Fermat pour trouver 2261645 mod 71.

p = 71k = 61645
2261645 mod 71 =

Corrigé

  1. 1. 199² mod 8 = 1
  2. 2. gcd(123, 69) = 3
  3. 3. 81−1 mod 83 = 41
  4. 4. x = 37
  5. 5. m = 1068
  6. 6. 2261645 mod 71 = 34

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