Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
aqbr1062=?·324+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Trouvez le plus petit commun multiple lcm(1062, 324). Utilisez d’abord l’algorithme d’Euclide pour le pgcd.

a = 1062b = 324
lcm(1062, 324) =
2.Facile
01234567891011mod 12

Trouvez 898 mod 12, le reste r avec 0 ≤ r < 12.

a = 898n = 12
898 mod 12 =
3.Moyen

Résolvez 28x ≡ 54 (mod 67). Donnez la solution x avec 0 < x < 67.

28x ≡ 54 (mod 67)
x =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 8 modulo 23 : le nombre x avec 0 < x < 23 et 8·x ≡ 1 (mod 23).

a = 8n = 23
8−1 mod 23 =
5.Difficile

Utilisez le carré répété pour trouver 7161 mod 12.

a = 7k = 161n = 12
7161 mod 12 =
6.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (209, 11)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 11 et q = 19 et l’exposant public e = 11. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 11q = 19e = 11
d =

Corrigé

  1. 1. lcm(1062, 324) = 19116
  2. 2. 898 mod 12 = 10
  3. 3. x = 45
  4. 4. 8−1 mod 23 = 3
  5. 5. 7161 mod 12 = 7
  6. 6. d = 131

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