Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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1.Facile
aqbr609=?·231+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Trouvez le plus petit commun multiple lcm(609, 231). Utilisez d’abord l’algorithme d’Euclide pour le pgcd.

a = 609b = 231
lcm(609, 231) =
2.Facile
aqbr990=?·414+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(990, 414).

a = 990b = 414
gcd(990, 414) =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 20 modulo 37 : le nombre x avec 0 < x < 37 et 20·x ≡ 1 (mod 37).

a = 20n = 37
20−1 mod 37 =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 14 modulo 17 : le nombre x avec 0 < x < 17 et 14·x ≡ 1 (mod 17).

a = 14n = 17
14−1 mod 17 =
5.Difficile
734c = me​ mod n?m = cd​ mod nm(n, e) = (1081, 7)d

Chiffre le message m = 734 avec la clé publique RSA (n, e) = (1081, 7). Trouvez le chiffré c.

n = 1081e = 7m = 734
c =
6.Difficile
mc = me​ mod n1068m = cd​ mod n?(n, e) = (2021, 13)d

Une clé RSA utilise p = 43, q = 47 et e = 13. Déchiffrez le chiffré c = 1068 : trouvez le message m.

p = 43q = 47e = 13c = 1068
m =

Corrigé

  1. 1. lcm(609, 231) = 6699
  2. 2. gcd(990, 414) = 18
  3. 3. 20−1 mod 37 = 13
  4. 4. 14−1 mod 17 = 11
  5. 5. c = 746
  6. 6. m = 1369

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