Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
aqbr108=?·56+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(108, 56).

a = 108b = 56
gcd(108, 56) =
2.Facile
aqbr819=?·672+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Trouvez le plus petit commun multiple lcm(819, 672). Utilisez d’abord l’algorithme d’Euclide pour le pgcd.

a = 819b = 672
lcm(819, 672) =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 69 modulo 83 : le nombre x avec 0 < x < 83 et 69·x ≡ 1 (mod 83).

a = 69n = 83
69−1 mod 83 =
4.Moyen

Résolvez 28x ≡ 3 (mod 37). Donnez la solution x avec 0 < x < 37.

28x ≡ 3 (mod 37)
x =
5.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (779, 23)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 19 et q = 41 et l’exposant public e = 23. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 19q = 41e = 23
d =
6.Difficile
mc = me​ mod n107m = cd​ mod n?(n, e) = (145, 17)d

Une clé RSA utilise p = 5, q = 29 et e = 17. Déchiffrez le chiffré c = 107 : trouvez le message m.

p = 5q = 29e = 17c = 107
m =

Corrigé

  1. 1. gcd(108, 56) = 4
  2. 2. lcm(819, 672) = 26208
  3. 3. 69−1 mod 83 = 77
  4. 4. x = 12
  5. 5. d = 407
  6. 6. m = 82

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