Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
aqbr159=?·117+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(159, 117).

a = 159b = 117
gcd(159, 117) =
2.Facile
01234567mod 8

Trouvez (−95) mod 8, le reste r avec 0 ≤ r < 8.

a = −95n = 8
(−95) mod 8 =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 21 modulo 32 : le nombre x avec 0 < x < 32 et 21·x ≡ 1 (mod 32).

a = 21n = 32
21−1 mod 32 =
4.Moyen

Trouvez le plus petit entier positif x tel que x ≡ 7 (mod 12) et x ≡ 10 (mod 13).

x ≡ 7 (mod 12)x ≡ 10 (mod 13)
x =
5.Difficile
mc = me​ mod n47m = cd​ mod n?(n, e) = (77, 7)d

Une clé RSA utilise p = 7, q = 11 et e = 7. Déchiffrez le chiffré c = 47 : trouvez le message m.

p = 7q = 11e = 7c = 47
m =
6.Difficile

79 est premier. Utilisez le petit théorème de Fermat pour trouver 204259 mod 79.

p = 79k = 4259
204259 mod 79 =

Corrigé

  1. 1. gcd(159, 117) = 3
  2. 2. (−95) mod 8 = 1
  3. 3. 21−1 mod 32 = 29
  4. 4. x = 127
  5. 5. m = 5
  6. 6. 204259 mod 79 = 72

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