Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Trouvez (33·825) mod 12 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 12
(33·825) mod 12 =
2.Facile
aqbr561=?·119+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(561, 119).

a = 561b = 119
gcd(561, 119) =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 35 modulo 83 : le nombre x avec 0 < x < 83 et 35·x ≡ 1 (mod 83).

a = 35n = 83
35−1 mod 83 =
4.Moyen

Trouvez le plus petit entier positif x tel que x ≡ 1 (mod 9) et x ≡ 8 (mod 13).

x ≡ 1 (mod 9)x ≡ 8 (mod 13)
x =
5.Difficile

17 est premier. Utilisez le petit théorème de Fermat pour trouver 2989357 mod 17.

p = 17k = 89357
2989357 mod 17 =
6.Difficile
mc = me​ mod n1150m = cd​ mod n?(n, e) = (1333, 13)d

Une clé RSA utilise p = 31, q = 43 et e = 13. Déchiffrez le chiffré c = 1150 : trouvez le message m.

p = 31q = 43e = 13c = 1150
m =

Corrigé

  1. 1. (33·825) mod 12 = 9
  2. 2. gcd(561, 119) = 17
  3. 3. 35−1 mod 83 = 19
  4. 4. x = 73
  5. 5. 2989357 mod 17 = 14
  6. 6. m = 1071

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