Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
aqbr124=?·76+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(124, 76).

a = 124b = 76
gcd(124, 76) =
2.Facile
aqbr236=?·208+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(236, 208).

a = 236b = 208
gcd(236, 208) =
3.Moyen

Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(20), le nombre d’entiers de 1 à 20 premiers avec 20.

n = 20 = 22·5
φ(20) =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 32 modulo 43 : le nombre x avec 0 < x < 43 et 32·x ≡ 1 (mod 43).

a = 32n = 43
32−1 mod 43 =
5.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (221, 17)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 13 et q = 17 et l’exposant public e = 17. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 13q = 17e = 17
d =
6.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (899, 13)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 29 et q = 31 et l’exposant public e = 13. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 29q = 31e = 13
d =

Corrigé

  1. 1. gcd(124, 76) = 4
  2. 2. gcd(236, 208) = 4
  3. 3. φ(20) = 8
  4. 4. 32−1 mod 43 = 39
  5. 5. d = 113
  6. 6. d = 517

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