Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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1.Facile

Trouvez (803·386 + 475) mod 8 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 8
(803·386 + 475) mod 8 =
2.Facile
aqbr504=?·477+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(504, 477).

a = 504b = 477
gcd(504, 477) =
3.Moyen

Trouvez le plus petit entier positif x tel que x ≡ 2 (mod 11) et x ≡ 5 (mod 13).

x ≡ 2 (mod 11)x ≡ 5 (mod 13)
x =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 49 modulo 78 : le nombre x avec 0 < x < 78 et 49·x ≡ 1 (mod 78).

a = 49n = 78
49−1 mod 78 =
5.Difficile
mc = me​ mod n101m = cd​ mod n?(n, e) = (943, 19)d

Une clé RSA utilise p = 23, q = 41 et e = 19. Déchiffrez le chiffré c = 101 : trouvez le message m.

p = 23q = 41e = 19c = 101
m =
6.Difficile

Utilisez le carré répété pour trouver 3147 mod 16.

a = 3k = 147n = 16
3147 mod 16 =

Corrigé

  1. 1. (803·386 + 475) mod 8 = 1
  2. 2. gcd(504, 477) = 9
  3. 3. x = 57
  4. 4. 49−1 mod 78 = 43
  5. 5. m = 602
  6. 6. 3147 mod 16 = 11

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