Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
aqbr216=?·99+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(216, 99).

a = 216b = 99
gcd(216, 99) =
2.Facile

Trouvez (416·394 + 12) mod 13 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 13
(416·394 + 12) mod 13 =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 81 modulo 97 : le nombre x avec 0 < x < 97 et 81·x ≡ 1 (mod 97).

a = 81n = 97
81−1 mod 97 =
4.Moyen

Résolvez 5x ≡ 11 (mod 19). Donnez la solution x avec 0 < x < 19.

5x ≡ 11 (mod 19)
x =
5.Difficile

Utilisez le carré répété pour trouver 2340 mod 37.

a = 23k = 40n = 37
2340 mod 37 =
6.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (989, 23)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 23 et q = 43 et l’exposant public e = 23. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 23q = 43e = 23
d =

Corrigé

  1. 1. gcd(216, 99) = 9
  2. 2. (416·394 + 12) mod 13 = 12
  3. 3. 81−1 mod 97 = 6
  4. 4. x = 6
  5. 5. 2340 mod 37 = 10
  6. 6. d = 683

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