Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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1.Facile

Trouvez 314² mod 8 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 8
314² mod 8 =
2.Facile
01234mod 5

Trouvez (−81) mod 5, le reste r avec 0 ≤ r < 5.

a = −81n = 5
(−81) mod 5 =
3.Moyen

Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(57), le nombre d’entiers de 1 à 57 premiers avec 57.

n = 57 = 3·19
φ(57) =
4.Moyen

Trouvez le plus petit entier positif x tel que x ≡ 6 (mod 9) et x ≡ 2 (mod 13).

x ≡ 6 (mod 9)x ≡ 2 (mod 13)
x =
5.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (731, 19)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 17 et q = 43 et l’exposant public e = 19. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 17q = 43e = 19
d =
6.Difficile

Utilisez le carré répété pour trouver 978 mod 83.

a = 9k = 78n = 83
978 mod 83 =

Corrigé

  1. 1. 314² mod 8 = 4
  2. 2. (−81) mod 5 = 4
  3. 3. φ(57) = 36
  4. 4. x = 15
  5. 5. d = 283
  6. 6. 978 mod 83 = 21

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