Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Trouvez (621·225) mod 7 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 7
(621·225) mod 7 =
2.Facile
aqbr392=?·352+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(392, 352).

a = 392b = 352
gcd(392, 352) =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 65 modulo 79 : le nombre x avec 0 < x < 79 et 65·x ≡ 1 (mod 79).

a = 65n = 79
65−1 mod 79 =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 9 modulo 23 : le nombre x avec 0 < x < 23 et 9·x ≡ 1 (mod 23).

a = 9n = 23
9−1 mod 23 =
5.Difficile
28c = me​ mod n?m = cd​ mod nm(n, e) = (185, 13)d

Chiffre le message m = 28 avec la clé publique RSA (n, e) = (185, 13). Trouvez le chiffré c.

n = 185e = 13m = 28
c =
6.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (95, 23)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 5 et q = 19 et l’exposant public e = 23. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 5q = 19e = 23
d =

Corrigé

  1. 1. (621·225) mod 7 = 5
  2. 2. gcd(392, 352) = 8
  3. 3. 65−1 mod 79 = 62
  4. 4. 9−1 mod 23 = 18
  5. 5. c = 173
  6. 6. d = 47

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