Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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1.Facile
aqbr490=?·364+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Trouvez le plus petit commun multiple lcm(490, 364). Utilisez d’abord l’algorithme d’Euclide pour le pgcd.

a = 490b = 364
lcm(490, 364) =
2.Facile
aqbr88=?·76+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(88, 76).

a = 88b = 76
gcd(88, 76) =
3.Moyen

Trouvez le plus petit entier positif x tel que x ≡ 4 (mod 6) et x ≡ 1 (mod 13).

x ≡ 4 (mod 6)x ≡ 1 (mod 13)
x =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 25 modulo 67 : le nombre x avec 0 < x < 67 et 25·x ≡ 1 (mod 67).

a = 25n = 67
25−1 mod 67 =
5.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (893, 19)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 19 et q = 47 et l’exposant public e = 19. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 19q = 47e = 19
d =
6.Difficile

Résolvez 66x ≡ 44 (mod 77). Donnez la plus petite solution positive x.

66x ≡ 44 (mod 77)
x =

Corrigé

  1. 1. lcm(490, 364) = 12740
  2. 2. gcd(88, 76) = 4
  3. 3. x = 40
  4. 4. 25−1 mod 67 = 59
  5. 5. d = 523
  6. 6. x = 3

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