Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
012mod 3

Trouvez (−86) mod 3, le reste r avec 0 ≤ r < 3.

a = −86n = 3
(−86) mod 3 =
2.Facile

Trouvez (724·953 + 289) mod 9 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 9
(724·953 + 289) mod 9 =
3.Moyen

Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(20), le nombre d’entiers de 1 à 20 premiers avec 20.

n = 20 = 22·5
φ(20) =
4.Moyen

Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(57), le nombre d’entiers de 1 à 57 premiers avec 57.

n = 57 = 3·19
φ(57) =
5.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (377, 23)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 13 et q = 29 et l’exposant public e = 23. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 13q = 29e = 23
d =
6.Difficile
487c = me​ mod n?m = cd​ mod nm(n, e) = (1247, 23)d

Chiffre le message m = 487 avec la clé publique RSA (n, e) = (1247, 23). Trouvez le chiffré c.

n = 1247e = 23m = 487
c =

Corrigé

  1. 1. (−86) mod 3 = 1
  2. 2. (724·953 + 289) mod 9 = 6
  3. 3. φ(20) = 8
  4. 4. φ(57) = 36
  5. 5. d = 263
  6. 6. c = 239

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