Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
0123mod 4

Trouvez (−37) mod 4, le reste r avec 0 ≤ r < 4.

a = −37n = 4
(−37) mod 4 =
2.Facile
aqbr112=?·49+??=?·?+??=?·?+?

Trouvez le plus petit commun multiple lcm(112, 49). Utilisez d’abord l’algorithme d’Euclide pour le pgcd.

a = 112b = 49
lcm(112, 49) =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 23 modulo 43 : le nombre x avec 0 < x < 43 et 23·x ≡ 1 (mod 43).

a = 23n = 43
23−1 mod 43 =
4.Moyen

Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(931), le nombre d’entiers de 1 à 931 premiers avec 931.

n = 931 = 72·19
φ(931) =
5.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (133, 5)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 7 et q = 19 et l’exposant public e = 5. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 7q = 19e = 5
d =
6.Difficile
4c = me​ mod n?m = cd​ mod nm(n, e) = (187, 11)d

Chiffre le message m = 4 avec la clé publique RSA (n, e) = (187, 11). Trouvez le chiffré c.

n = 187e = 11m = 4
c =

Corrigé

  1. 1. (−37) mod 4 = 3
  2. 2. lcm(112, 49) = 784
  3. 3. 23−1 mod 43 = 15
  4. 4. φ(931) = 756
  5. 5. d = 65
  6. 6. c = 81

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