Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Trouvez (208·956) mod 5 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 5
(208·956) mod 5 =
2.Facile
aqbr741=?·572+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(741, 572).

a = 741b = 572
gcd(741, 572) =
3.Moyen

Résolvez 5x ≡ 2 (mod 24). Donnez la solution x avec 0 < x < 24.

5x ≡ 2 (mod 24)
x =
4.Moyen

Trouvez le plus petit entier positif x tel que x ≡ 1 (mod 10) et x ≡ 7 (mod 11).

x ≡ 1 (mod 10)x ≡ 7 (mod 11)
x =
5.Difficile
mc = me​ mod n147m = cd​ mod n?(n, e) = (493, 23)d

Une clé RSA utilise p = 17, q = 29 et e = 23. Déchiffrez le chiffré c = 147 : trouvez le message m.

p = 17q = 29e = 23c = 147
m =
6.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (551, 5)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 19 et q = 29 et l’exposant public e = 5. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 19q = 29e = 5
d =

Corrigé

  1. 1. (208·956) mod 5 = 3
  2. 2. gcd(741, 572) = 13
  3. 3. x = 10
  4. 4. x = 51
  5. 5. m = 105
  6. 6. d = 101

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