Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Trouvez 106² mod 12 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 12
106² mod 12 =
2.Facile
aqbr342=?·132+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Trouvez le plus petit commun multiple lcm(342, 132). Utilisez d’abord l’algorithme d’Euclide pour le pgcd.

a = 342b = 132
lcm(342, 132) =
3.Moyen

Trouvez le plus petit entier positif x tel que x ≡ 2 (mod 8) et x ≡ 1 (mod 13).

x ≡ 2 (mod 8)x ≡ 1 (mod 13)
x =
4.Moyen

Trouvez le plus petit entier positif x tel que x ≡ 2 (mod 3) et x ≡ 12 (mod 13).

x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 12 (mod 13)
x =
5.Difficile
mc = me​ mod n1529m = cd​ mod n?(n, e) = (1591, 23)d

Une clé RSA utilise p = 37, q = 43 et e = 23. Déchiffrez le chiffré c = 1529 : trouvez le message m.

p = 37q = 43e = 23c = 1529
m =
6.Difficile

Combien de solutions N a 8x ≡ 2 (mod 14) dans {0, 1, …, 13} ?

8x ≡ 2 (mod 14)
N =

Corrigé

  1. 1. 106² mod 12 = 4
  2. 2. lcm(342, 132) = 7524
  3. 3. x = 66
  4. 4. x = 38
  5. 5. m = 1476
  6. 6. N = 2

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