Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Trouvez 236² mod 11 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 11
236² mod 11 =
2.Facile
aqbr153=?·123+??=?·?+??=?·?+?

Trouvez le plus petit commun multiple lcm(153, 123). Utilisez d’abord l’algorithme d’Euclide pour le pgcd.

a = 153b = 123
lcm(153, 123) =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 5 modulo 97 : le nombre x avec 0 < x < 97 et 5·x ≡ 1 (mod 97).

a = 5n = 97
5−1 mod 97 =
4.Moyen

Résolvez 55x ≡ 36 (mod 61). Donnez la solution x avec 0 < x < 61.

55x ≡ 36 (mod 61)
x =
5.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (1081, 19)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 23 et q = 47 et l’exposant public e = 19. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 23q = 47e = 19
d =
6.Difficile

53 est premier. Utilisez le petit théorème de Fermat pour trouver 779386 mod 53.

p = 53k = 79386
779386 mod 53 =

Corrigé

  1. 1. 236² mod 11 = 3
  2. 2. lcm(153, 123) = 6273
  3. 3. 5−1 mod 97 = 39
  4. 4. x = 55
  5. 5. d = 799
  6. 6. 779386 mod 53 = 44

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