Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Trouvez 772² mod 13 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 13
772² mod 13 =
2.Facile
aqbr1056=?·648+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(1056, 648).

a = 1056b = 648
gcd(1056, 648) =
3.Moyen

Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(13), le nombre d’entiers de 1 à 13 premiers avec 13.

n = 13 = 13
φ(13) =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 10 modulo 29 : le nombre x avec 0 < x < 29 et 10·x ≡ 1 (mod 29).

a = 10n = 29
10−1 mod 29 =
5.Difficile
1041c = me​ mod n?m = cd​ mod nm(n, e) = (1189, 19)d

Chiffre le message m = 1041 avec la clé publique RSA (n, e) = (1189, 19). Trouvez le chiffré c.

n = 1189e = 19m = 1041
c =
6.Difficile

89 est premier. Utilisez le petit théorème de Fermat pour trouver 2230546 mod 89.

p = 89k = 30546
2230546 mod 89 =

Corrigé

  1. 1. 772² mod 13 = 12
  2. 2. gcd(1056, 648) = 24
  3. 3. φ(13) = 12
  4. 4. 10−1 mod 29 = 3
  5. 5. c = 1084
  6. 6. 2230546 mod 89 = 4

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