Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Trouvez (697·739) mod 13 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 13
(697·739) mod 13 =
2.Facile
aqbr1239=?·378+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(1239, 378).

a = 1239b = 378
gcd(1239, 378) =
3.Moyen

Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(686), le nombre d’entiers de 1 à 686 premiers avec 686.

n = 686 = 2·73
φ(686) =
4.Moyen

Trouvez le plus petit entier positif x tel que x ≡ 4 (mod 9) et x ≡ 9 (mod 13).

x ≡ 4 (mod 9)x ≡ 9 (mod 13)
x =
5.Difficile
mc = me​ mod n261m = cd​ mod n?(n, e) = (341, 7)d

Une clé RSA utilise p = 11, q = 31 et e = 7. Déchiffrez le chiffré c = 261 : trouvez le message m.

p = 11q = 31e = 7c = 261
m =
6.Difficile
103c = me​ mod n?m = cd​ mod nm(n, e) = (215, 5)d

Chiffre le message m = 103 avec la clé publique RSA (n, e) = (215, 5). Trouvez le chiffré c.

n = 215e = 5m = 103
c =

Corrigé

  1. 1. (697·739) mod 13 = 10
  2. 2. gcd(1239, 378) = 21
  3. 3. φ(686) = 294
  4. 4. x = 22
  5. 5. m = 259
  6. 6. c = 83

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