Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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1.Facile
aqbr141=?·108+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Trouvez le plus petit commun multiple lcm(141, 108). Utilisez d’abord l’algorithme d’Euclide pour le pgcd.

a = 141b = 108
lcm(141, 108) =
2.Facile
01234mod 5

Trouvez (−59) mod 5, le reste r avec 0 ≤ r < 5.

a = −59n = 5
(−59) mod 5 =
3.Moyen

Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(18), le nombre d’entiers de 1 à 18 premiers avec 18.

n = 18 = 2·32
φ(18) =
4.Moyen

Résolvez 85x ≡ 27 (mod 98). Donnez la solution x avec 0 < x < 98.

85x ≡ 27 (mod 98)
x =
5.Difficile

Utilisez le carré répété pour trouver 12197 mod 37.

a = 12k = 197n = 37
12197 mod 37 =
6.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (551, 13)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 19 et q = 29 et l’exposant public e = 13. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 19q = 29e = 13
d =

Corrigé

  1. 1. lcm(141, 108) = 5076
  2. 2. (−59) mod 5 = 1
  3. 3. φ(18) = 6
  4. 4. x = 13
  5. 5. 12197 mod 37 = 34
  6. 6. d = 349

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