Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
012mod 3

Trouvez 391 mod 3, le reste r avec 0 ≤ r < 3.

a = 391n = 3
391 mod 3 =
2.Facile

Trouvez 970² mod 8 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 8
970² mod 8 =
3.Moyen

Trouvez le plus petit entier positif x tel que x ≡ 3 (mod 6) et x ≡ 4 (mod 7).

x ≡ 3 (mod 6)x ≡ 4 (mod 7)
x =
4.Moyen

Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(845), le nombre d’entiers de 1 à 845 premiers avec 845.

n = 845 = 5·132
φ(845) =
5.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (943, 19)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 23 et q = 41 et l’exposant public e = 19. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 23q = 41e = 19
d =
6.Difficile

97 est premier. Utilisez le petit théorème de Fermat pour trouver 1774162 mod 97.

p = 97k = 74162
1774162 mod 97 =

Corrigé

  1. 1. 391 mod 3 = 1
  2. 2. 970² mod 8 = 4
  3. 3. x = 39
  4. 4. φ(845) = 624
  5. 5. d = 139
  6. 6. 1774162 mod 97 = 2

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