Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
01234mod 5

Trouvez 898 mod 5, le reste r avec 0 ≤ r < 5.

a = 898n = 5
898 mod 5 =
2.Facile
aqbr636=?·540+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(636, 540).

a = 636b = 540
gcd(636, 540) =
3.Moyen

Trouvez le plus petit entier positif x tel que x ≡ 2 (mod 4) et x ≡ 5 (mod 13).

x ≡ 2 (mod 4)x ≡ 5 (mod 13)
x =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 15 modulo 17 : le nombre x avec 0 < x < 17 et 15·x ≡ 1 (mod 17).

a = 15n = 17
15−1 mod 17 =
5.Difficile
mc = me​ mod n398m = cd​ mod n?(n, e) = (481, 23)d

Une clé RSA utilise p = 13, q = 37 et e = 23. Déchiffrez le chiffré c = 398 : trouvez le message m.

p = 13q = 37e = 23c = 398
m =
6.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (217, 23)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 7 et q = 31 et l’exposant public e = 23. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 7q = 31e = 23
d =

Corrigé

  1. 1. 898 mod 5 = 3
  2. 2. gcd(636, 540) = 12
  3. 3. x = 18
  4. 4. 15−1 mod 17 = 8
  5. 5. m = 252
  6. 6. d = 47

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