Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
aqbr414=?·306+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(414, 306).

a = 414b = 306
gcd(414, 306) =
2.Facile
aqbr148=?·84+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Trouvez le plus petit commun multiple lcm(148, 84). Utilisez d’abord l’algorithme d’Euclide pour le pgcd.

a = 148b = 84
lcm(148, 84) =
3.Moyen

Trouvez le plus petit entier positif x tel que x ≡ 6 (mod 7) et x ≡ 11 (mod 12).

x ≡ 6 (mod 7)x ≡ 11 (mod 12)
x =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 19 modulo 50 : le nombre x avec 0 < x < 50 et 19·x ≡ 1 (mod 50).

a = 19n = 50
19−1 mod 50 =
5.Difficile
mc = me​ mod n24m = cd​ mod n?(n, e) = (155, 17)d

Une clé RSA utilise p = 5, q = 31 et e = 17. Déchiffrez le chiffré c = 24 : trouvez le message m.

p = 5q = 31e = 17c = 24
m =
6.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (403, 11)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 13 et q = 31 et l’exposant public e = 11. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 13q = 31e = 11
d =

Corrigé

  1. 1. gcd(414, 306) = 18
  2. 2. lcm(148, 84) = 3108
  3. 3. x = 83
  4. 4. 19−1 mod 50 = 29
  5. 5. m = 114
  6. 6. d = 131

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