Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
aqbr92=?·34+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(92, 34).

a = 92b = 34
gcd(92, 34) =
2.Facile
0123mod 4

Trouvez 387 mod 4, le reste r avec 0 ≤ r < 4.

a = 387n = 4
387 mod 4 =
3.Moyen

Résolvez 40x ≡ 43 (mod 59). Donnez la solution x avec 0 < x < 59.

40x ≡ 43 (mod 59)
x =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 22 modulo 53 : le nombre x avec 0 < x < 53 et 22·x ≡ 1 (mod 53).

a = 22n = 53
22−1 mod 53 =
5.Difficile

23 est premier. Utilisez le petit théorème de Fermat pour trouver 31889 mod 23.

p = 23k = 1889
31889 mod 23 =
6.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (817, 17)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 19 et q = 43 et l’exposant public e = 17. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 19q = 43e = 17
d =

Corrigé

  1. 1. gcd(92, 34) = 2
  2. 2. 387 mod 4 = 3
  3. 3. x = 35
  4. 4. 22−1 mod 53 = 41
  5. 5. 31889 mod 23 = 6
  6. 6. d = 89

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