Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Trouvez (823·507) mod 9 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 9
(823·507) mod 9 =
2.Facile

Trouvez (711·446 + 459) mod 12 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 12
(711·446 + 459) mod 12 =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 17 modulo 61 : le nombre x avec 0 < x < 61 et 17·x ≡ 1 (mod 61).

a = 17n = 61
17−1 mod 61 =
4.Moyen

Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(34), le nombre d’entiers de 1 à 34 premiers avec 34.

n = 34 = 2·17
φ(34) =
5.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (85, 3)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 5 et q = 17 et l’exposant public e = 3. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 5q = 17e = 3
d =
6.Difficile
mc = me​ mod n11m = cd​ mod n?(n, e) = (205, 3)d

Une clé RSA utilise p = 5, q = 41 et e = 3. Déchiffrez le chiffré c = 11 : trouvez le message m.

p = 5q = 41e = 3c = 11
m =

Corrigé

  1. 1. (823·507) mod 9 = 3
  2. 2. (711·446 + 459) mod 12 = 9
  3. 3. 17−1 mod 61 = 18
  4. 4. φ(34) = 16
  5. 5. d = 43
  6. 6. m = 6

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