Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
012345678mod 9

Trouvez (−49) mod 9, le reste r avec 0 ≤ r < 9.

a = −49n = 9
(−49) mod 9 =
2.Facile

Trouvez (781·175 + 433) mod 5 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 5
(781·175 + 433) mod 5 =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 14 modulo 89 : le nombre x avec 0 < x < 89 et 14·x ≡ 1 (mod 89).

a = 14n = 89
14−1 mod 89 =
4.Moyen

Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(323), le nombre d’entiers de 1 à 323 premiers avec 323.

n = 323 = 17·19
φ(323) =
5.Difficile

Résolvez 48x ≡ 4 (mod 52). Donnez la plus petite solution positive x.

48x ≡ 4 (mod 52)
x =
6.Difficile

53 est premier. Utilisez le petit théorème de Fermat pour trouver 2293295 mod 53.

p = 53k = 93295
2293295 mod 53 =

Corrigé

  1. 1. (−49) mod 9 = 5
  2. 2. (781·175 + 433) mod 5 = 3
  3. 3. 14−1 mod 89 = 70
  4. 4. φ(323) = 288
  5. 5. x = 12
  6. 6. 2293295 mod 53 = 20

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