Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Trouvez (243·859 + 462) mod 12 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 12
(243·859 + 462) mod 12 =
2.Facile
aqbr826=?·518+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(826, 518).

a = 826b = 518
gcd(826, 518) =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 66 modulo 73 : le nombre x avec 0 < x < 73 et 66·x ≡ 1 (mod 73).

a = 66n = 73
66−1 mod 73 =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 12 modulo 19 : le nombre x avec 0 < x < 19 et 12·x ≡ 1 (mod 19).

a = 12n = 19
12−1 mod 19 =
5.Difficile
mc = me​ mod n149m = cd​ mod n?(n, e) = (253, 7)d

Une clé RSA utilise p = 11, q = 23 et e = 7. Déchiffrez le chiffré c = 149 : trouvez le message m.

p = 11q = 23e = 7c = 149
m =
6.Difficile
mc = me​ mod n567m = cd​ mod n?(n, e) = (989, 19)d

Une clé RSA utilise p = 23, q = 43 et e = 19. Déchiffrez le chiffré c = 567 : trouvez le message m.

p = 23q = 43e = 19c = 567
m =

Corrigé

  1. 1. (243·859 + 462) mod 12 = 3
  2. 2. gcd(826, 518) = 14
  3. 3. 66−1 mod 73 = 52
  4. 4. 12−1 mod 19 = 8
  5. 5. m = 84
  6. 6. m = 770

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