Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
aqbr918=?·882+??=?·?+??=?·?+?

Trouvez le plus petit commun multiple lcm(918, 882). Utilisez d’abord l’algorithme d’Euclide pour le pgcd.

a = 918b = 882
lcm(918, 882) =
2.Facile
0123mod 4

Trouvez (−21) mod 4, le reste r avec 0 ≤ r < 4.

a = −21n = 4
(−21) mod 4 =
3.Moyen

Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(1859), le nombre d’entiers de 1 à 1859 premiers avec 1859.

n = 1859 = 11·132
φ(1859) =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 35 modulo 46 : le nombre x avec 0 < x < 46 et 35·x ≡ 1 (mod 46).

a = 35n = 46
35−1 mod 46 =
5.Difficile

71 est premier. Utilisez le petit théorème de Fermat pour trouver 1676630 mod 71.

p = 71k = 76630
1676630 mod 71 =
6.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (1517, 17)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 37 et q = 41 et l’exposant public e = 17. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 37q = 41e = 17
d =

Corrigé

  1. 1. lcm(918, 882) = 44982
  2. 2. (−21) mod 4 = 3
  3. 3. φ(1859) = 1560
  4. 4. 35−1 mod 46 = 25
  5. 5. 1676630 mod 71 = 45
  6. 6. d = 593

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