Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Trouvez 839² mod 5 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 5
839² mod 5 =
2.Facile
aqbr901=?·680+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(901, 680).

a = 901b = 680
gcd(901, 680) =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 3 modulo 11 : le nombre x avec 0 < x < 11 et 3·x ≡ 1 (mod 11).

a = 3n = 11
3−1 mod 11 =
4.Moyen

Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(125), le nombre d’entiers de 1 à 125 premiers avec 125.

n = 125 = 53
φ(125) =
5.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (85, 5)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 5 et q = 17 et l’exposant public e = 5. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 5q = 17e = 5
d =
6.Difficile
mc = me​ mod n951m = cd​ mod n?(n, e) = (989, 17)d

Une clé RSA utilise p = 23, q = 43 et e = 17. Déchiffrez le chiffré c = 951 : trouvez le message m.

p = 23q = 43e = 17c = 951
m =

Corrigé

  1. 1. 839² mod 5 = 1
  2. 2. gcd(901, 680) = 17
  3. 3. 3−1 mod 11 = 4
  4. 4. φ(125) = 100
  5. 5. d = 13
  6. 6. m = 846

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