Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
aqbr138=?·18+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(138, 18).

a = 138b = 18
gcd(138, 18) =
2.Facile
01234mod 5

Trouvez (−59) mod 5, le reste r avec 0 ≤ r < 5.

a = −59n = 5
(−59) mod 5 =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 15 modulo 37 : le nombre x avec 0 < x < 37 et 15·x ≡ 1 (mod 37).

a = 15n = 37
15−1 mod 37 =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 18 modulo 59 : le nombre x avec 0 < x < 59 et 18·x ≡ 1 (mod 59).

a = 18n = 59
18−1 mod 59 =
5.Difficile
60c = me​ mod n?m = cd​ mod nm(n, e) = (323, 5)d

Chiffre le message m = 60 avec la clé publique RSA (n, e) = (323, 5). Trouvez le chiffré c.

n = 323e = 5m = 60
c =
6.Difficile

Utilisez le carré répété pour trouver 53158 mod 64.

a = 53k = 158n = 64
53158 mod 64 =

Corrigé

  1. 1. gcd(138, 18) = 6
  2. 2. (−59) mod 5 = 1
  3. 3. 15−1 mod 37 = 5
  4. 4. 18−1 mod 59 = 23
  5. 5. c = 110
  6. 6. 53158 mod 64 = 9

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