Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
012345678mod 9

Trouvez (−82) mod 9, le reste r avec 0 ≤ r < 9.

a = −82n = 9
(−82) mod 9 =
2.Facile
aqbr133=?·70+??=?·?+??=?·?+?

Trouvez le plus petit commun multiple lcm(133, 70). Utilisez d’abord l’algorithme d’Euclide pour le pgcd.

a = 133b = 70
lcm(133, 70) =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 19 modulo 41 : le nombre x avec 0 < x < 41 et 19·x ≡ 1 (mod 41).

a = 19n = 41
19−1 mod 41 =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 23 modulo 29 : le nombre x avec 0 < x < 29 et 23·x ≡ 1 (mod 29).

a = 23n = 29
23−1 mod 29 =
5.Difficile

Résolvez 22x ≡ 4 (mod 26). Donnez la plus petite solution positive x.

22x ≡ 4 (mod 26)
x =
6.Difficile
34c = me​ mod n?m = cd​ mod nm(n, e) = (899, 23)d

Chiffre le message m = 34 avec la clé publique RSA (n, e) = (899, 23). Trouvez le chiffré c.

n = 899e = 23m = 34
c =

Corrigé

  1. 1. (−82) mod 9 = 8
  2. 2. lcm(133, 70) = 1330
  3. 3. 19−1 mod 41 = 13
  4. 4. 23−1 mod 29 = 24
  5. 5. x = 12
  6. 6. c = 352

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