Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Trouvez (499·309) mod 5 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 5
(499·309) mod 5 =
2.Facile

Trouvez (800·622 + 174) mod 6 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 6
(800·622 + 174) mod 6 =
3.Moyen

Trouvez le plus petit entier positif x tel que x ≡ 4 (mod 5) et x ≡ 3 (mod 12).

x ≡ 4 (mod 5)x ≡ 3 (mod 12)
x =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 9 modulo 43 : le nombre x avec 0 < x < 43 et 9·x ≡ 1 (mod 43).

a = 9n = 43
9−1 mod 43 =
5.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (55, 3)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 5 et q = 11 et l’exposant public e = 3. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 5q = 11e = 3
d =
6.Difficile

Utilisez le carré répété pour trouver 11176 mod 19.

a = 11k = 176n = 19
11176 mod 19 =

Corrigé

  1. 1. (499·309) mod 5 = 1
  2. 2. (800·622 + 174) mod 6 = 2
  3. 3. x = 39
  4. 4. 9−1 mod 43 = 24
  5. 5. d = 27
  6. 6. 11176 mod 19 = 7

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