Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
aqbr120=?·94+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(120, 94).

a = 120b = 94
gcd(120, 94) =
2.Facile

Trouvez (663·458 + 357) mod 7 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 7
(663·458 + 357) mod 7 =
3.Moyen

Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(361), le nombre d’entiers de 1 à 361 premiers avec 361.

n = 361 = 192
φ(361) =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 43 modulo 75 : le nombre x avec 0 < x < 75 et 43·x ≡ 1 (mod 75).

a = 43n = 75
43−1 mod 75 =
5.Difficile
mc = me​ mod n276m = cd​ mod n?(n, e) = (527, 23)d

Une clé RSA utilise p = 17, q = 31 et e = 23. Déchiffrez le chiffré c = 276 : trouvez le message m.

p = 17q = 31e = 23c = 276
m =
6.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (1333, 23)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 31 et q = 43 et l’exposant public e = 23. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 31q = 43e = 23
d =

Corrigé

  1. 1. gcd(120, 94) = 2
  2. 2. (663·458 + 357) mod 7 = 1
  3. 3. φ(361) = 342
  4. 4. 43−1 mod 75 = 7
  5. 5. m = 319
  6. 6. d = 767

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