Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
aqbr348=?·96+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Trouvez le plus petit commun multiple lcm(348, 96). Utilisez d’abord l’algorithme d’Euclide pour le pgcd.

a = 348b = 96
lcm(348, 96) =
2.Facile

Trouvez 806² mod 7 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 7
806² mod 7 =
3.Moyen

Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(637), le nombre d’entiers de 1 à 637 premiers avec 637.

n = 637 = 72·13
φ(637) =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 45 modulo 97 : le nombre x avec 0 < x < 97 et 45·x ≡ 1 (mod 97).

a = 45n = 97
45−1 mod 97 =
5.Difficile

29 est premier. Utilisez le petit théorème de Fermat pour trouver 478746 mod 29.

p = 29k = 78746
478746 mod 29 =
6.Difficile
mc = me​ mod n724m = cd​ mod n?(n, e) = (899, 13)d

Une clé RSA utilise p = 29, q = 31 et e = 13. Déchiffrez le chiffré c = 724 : trouvez le message m.

p = 29q = 31e = 13c = 724
m =

Corrigé

  1. 1. lcm(348, 96) = 2784
  2. 2. 806² mod 7 = 1
  3. 3. φ(637) = 504
  4. 4. 45−1 mod 97 = 69
  5. 5. 478746 mod 29 = 23
  6. 6. m = 695

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