Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Trouvez 582² mod 7 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 7
582² mod 7 =
2.Facile
aqbr583=?·495+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Trouvez le plus petit commun multiple lcm(583, 495). Utilisez d’abord l’algorithme d’Euclide pour le pgcd.

a = 583b = 495
lcm(583, 495) =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 21 modulo 23 : le nombre x avec 0 < x < 23 et 21·x ≡ 1 (mod 23).

a = 21n = 23
21−1 mod 23 =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 41 modulo 94 : le nombre x avec 0 < x < 94 et 41·x ≡ 1 (mod 94).

a = 41n = 94
41−1 mod 94 =
5.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (1739, 13)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 37 et q = 47 et l’exposant public e = 13. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 37q = 47e = 13
d =
6.Difficile
713c = me​ mod n?m = cd​ mod nm(n, e) = (799, 17)d

Chiffre le message m = 713 avec la clé publique RSA (n, e) = (799, 17). Trouvez le chiffré c.

n = 799e = 17m = 713
c =

Corrigé

  1. 1. 582² mod 7 = 1
  2. 2. lcm(583, 495) = 26235
  3. 3. 21−1 mod 23 = 11
  4. 4. 41−1 mod 94 = 39
  5. 5. d = 637
  6. 6. c = 220

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