Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
aqbr52=?·6+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(52, 6).

a = 52b = 6
gcd(52, 6) =
2.Facile

Trouvez (664·963 + 10) mod 5 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 5
(664·963 + 10) mod 5 =
3.Moyen

Résolvez 23x ≡ 7 (mod 51). Donnez la solution x avec 0 < x < 51.

23x ≡ 7 (mod 51)
x =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 11 modulo 19 : le nombre x avec 0 < x < 19 et 11·x ≡ 1 (mod 19).

a = 11n = 19
11−1 mod 19 =
5.Difficile

Combien de solutions N a 15x ≡ 12 (mod 18) dans {0, 1, …, 17} ?

15x ≡ 12 (mod 18)
N =
6.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (703, 13)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 19 et q = 37 et l’exposant public e = 13. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 19q = 37e = 13
d =

Corrigé

  1. 1. gcd(52, 6) = 2
  2. 2. (664·963 + 10) mod 5 = 2
  3. 3. x = 38
  4. 4. 11−1 mod 19 = 7
  5. 5. N = 3
  6. 6. d = 349

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