Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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1.Facile

Trouvez (795·743 + 357) mod 13 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 13
(795·743 + 357) mod 13 =
2.Facile
aqbr336=?·114+??=?·?+??=?·?+?

Trouvez le plus petit commun multiple lcm(336, 114). Utilisez d’abord l’algorithme d’Euclide pour le pgcd.

a = 336b = 114
lcm(336, 114) =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 67 modulo 97 : le nombre x avec 0 < x < 97 et 67·x ≡ 1 (mod 97).

a = 67n = 97
67−1 mod 97 =
4.Moyen

Résolvez 55x ≡ 49 (mod 61). Donnez la solution x avec 0 < x < 61.

55x ≡ 49 (mod 61)
x =
5.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (527, 13)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 17 et q = 31 et l’exposant public e = 13. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 17q = 31e = 13
d =
6.Difficile

Utilisez le carré répété pour trouver 4128 mod 93.

a = 41k = 28n = 93
4128 mod 93 =

Corrigé

  1. 1. (795·743 + 357) mod 13 = 10
  2. 2. lcm(336, 114) = 6384
  3. 3. 67−1 mod 97 = 42
  4. 4. x = 2
  5. 5. d = 37
  6. 6. 4128 mod 93 = 40

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