Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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1.Facile
aqbr94=?·86+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(94, 86).

a = 94b = 86
gcd(94, 86) =
2.Facile
aqbr504=?·198+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Trouvez le plus petit commun multiple lcm(504, 198). Utilisez d’abord l’algorithme d’Euclide pour le pgcd.

a = 504b = 198
lcm(504, 198) =
3.Moyen

Résolvez 33x ≡ 81 (mod 98). Donnez la solution x avec 0 < x < 98.

33x ≡ 81 (mod 98)
x =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 31 modulo 70 : le nombre x avec 0 < x < 70 et 31·x ≡ 1 (mod 70).

a = 31n = 70
31−1 mod 70 =
5.Difficile

Utilisez le carré répété pour trouver 39199 mod 67.

a = 39k = 199n = 67
39199 mod 67 =
6.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (341, 17)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 11 et q = 31 et l’exposant public e = 17. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 11q = 31e = 17
d =

Corrigé

  1. 1. gcd(94, 86) = 2
  2. 2. lcm(504, 198) = 5544
  3. 3. x = 47
  4. 4. 31−1 mod 70 = 61
  5. 5. 39199 mod 67 = 39
  6. 6. d = 53

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