Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
aqbr55=?·48+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(55, 48).

a = 55b = 48
gcd(55, 48) =
2.Facile
aqbr812=?·294+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Trouvez le plus petit commun multiple lcm(812, 294). Utilisez d’abord l’algorithme d’Euclide pour le pgcd.

a = 812b = 294
lcm(812, 294) =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 61 modulo 81 : le nombre x avec 0 < x < 81 et 61·x ≡ 1 (mod 81).

a = 61n = 81
61−1 mod 81 =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 18 modulo 59 : le nombre x avec 0 < x < 59 et 18·x ≡ 1 (mod 59).

a = 18n = 59
18−1 mod 59 =
5.Difficile
32c = me​ mod n?m = cd​ mod nm(n, e) = (221, 19)d

Chiffre le message m = 32 avec la clé publique RSA (n, e) = (221, 19). Trouvez le chiffré c.

n = 221e = 19m = 32
c =
6.Difficile

Utilisez le carré répété pour trouver 2927 mod 47.

a = 29k = 27n = 47
2927 mod 47 =

Corrigé

  1. 1. gcd(55, 48) = 1
  2. 2. lcm(812, 294) = 17052
  3. 3. 61−1 mod 81 = 4
  4. 4. 18−1 mod 59 = 23
  5. 5. c = 111
  6. 6. 2927 mod 47 = 22

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