Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
aqbr288=?·200+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(288, 200).

a = 288b = 200
gcd(288, 200) =
2.Facile
0123456mod 7

Trouvez (−38) mod 7, le reste r avec 0 ≤ r < 7.

a = −38n = 7
(−38) mod 7 =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 13 modulo 31 : le nombre x avec 0 < x < 31 et 13·x ≡ 1 (mod 31).

a = 13n = 31
13−1 mod 31 =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 49 modulo 78 : le nombre x avec 0 < x < 78 et 49·x ≡ 1 (mod 78).

a = 49n = 78
49−1 mod 78 =
5.Difficile

41 est premier. Utilisez le petit théorème de Fermat pour trouver 2825546 mod 41.

p = 41k = 25546
2825546 mod 41 =
6.Difficile
mc = me​ mod n1219m = cd​ mod n?(n, e) = (1333, 13)d

Une clé RSA utilise p = 31, q = 43 et e = 13. Déchiffrez le chiffré c = 1219 : trouvez le message m.

p = 31q = 43e = 13c = 1219
m =

Corrigé

  1. 1. gcd(288, 200) = 8
  2. 2. (−38) mod 7 = 4
  3. 3. 13−1 mod 31 = 12
  4. 4. 49−1 mod 78 = 43
  5. 5. 2825546 mod 41 = 39
  6. 6. m = 826

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