Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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1.Facile

Trouvez (584·647) mod 5 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 5
(584·647) mod 5 =
2.Facile
012345mod 6

Trouvez (−32) mod 6, le reste r avec 0 ≤ r < 6.

a = −32n = 6
(−32) mod 6 =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 7 modulo 25 : le nombre x avec 0 < x < 25 et 7·x ≡ 1 (mod 25).

a = 7n = 25
7−1 mod 25 =
4.Moyen

Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(19), le nombre d’entiers de 1 à 19 premiers avec 19.

n = 19 = 19
φ(19) =
5.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (91, 23)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 7 et q = 13 et l’exposant public e = 23. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 7q = 13e = 23
d =
6.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (377, 19)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 13 et q = 29 et l’exposant public e = 19. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 13q = 29e = 19
d =

Corrigé

  1. 1. (584·647) mod 5 = 3
  2. 2. (−32) mod 6 = 4
  3. 3. 7−1 mod 25 = 18
  4. 4. φ(19) = 18
  5. 5. d = 47
  6. 6. d = 283

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