Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Trouvez (538·461) mod 11 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 11
(538·461) mod 11 =
2.Facile
aqbr658=?·532+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(658, 532).

a = 658b = 532
gcd(658, 532) =
3.Moyen

Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(88), le nombre d’entiers de 1 à 88 premiers avec 88.

n = 88 = 23·11
φ(88) =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 23 modulo 37 : le nombre x avec 0 < x < 37 et 23·x ≡ 1 (mod 37).

a = 23n = 37
23−1 mod 37 =
5.Difficile

17 est premier. Utilisez le petit théorème de Fermat pour trouver 1568151 mod 17.

p = 17k = 68151
1568151 mod 17 =
6.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (115, 19)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 5 et q = 23 et l’exposant public e = 19. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 5q = 23e = 19
d =

Corrigé

  1. 1. (538·461) mod 11 = 1
  2. 2. gcd(658, 532) = 14
  3. 3. φ(88) = 40
  4. 4. 23−1 mod 37 = 29
  5. 5. 1568151 mod 17 = 8
  6. 6. d = 51

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