Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
aqbr546=?·406+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(546, 406).

a = 546b = 406
gcd(546, 406) =
2.Facile
aqbr459=?·136+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(459, 136).

a = 459b = 136
gcd(459, 136) =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 53 modulo 55 : le nombre x avec 0 < x < 55 et 53·x ≡ 1 (mod 55).

a = 53n = 55
53−1 mod 55 =
4.Moyen

Trouvez le plus petit entier positif x tel que x ≡ 1 (mod 11) et x ≡ 11 (mod 12).

x ≡ 1 (mod 11)x ≡ 11 (mod 12)
x =
5.Difficile
108c = me​ mod n?m = cd​ mod nm(n, e) = (1147, 13)d

Chiffre le message m = 108 avec la clé publique RSA (n, e) = (1147, 13). Trouvez le chiffré c.

n = 1147e = 13m = 108
c =
6.Difficile
mc = me​ mod n56m = cd​ mod n?(n, e) = (253, 7)d

Une clé RSA utilise p = 11, q = 23 et e = 7. Déchiffrez le chiffré c = 56 : trouvez le message m.

p = 11q = 23e = 7c = 56
m =

Corrigé

  1. 1. gcd(546, 406) = 14
  2. 2. gcd(459, 136) = 17
  3. 3. 53−1 mod 55 = 27
  4. 4. x = 23
  5. 5. c = 895
  6. 6. m = 67

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