Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
aqbr561=?·476+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Trouvez le plus petit commun multiple lcm(561, 476). Utilisez d’abord l’algorithme d’Euclide pour le pgcd.

a = 561b = 476
lcm(561, 476) =
2.Facile
aqbr120=?·14+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(120, 14).

a = 120b = 14
gcd(120, 14) =
3.Moyen

Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(513), le nombre d’entiers de 1 à 513 premiers avec 513.

n = 513 = 33·19
φ(513) =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 43 modulo 61 : le nombre x avec 0 < x < 61 et 43·x ≡ 1 (mod 61).

a = 43n = 61
43−1 mod 61 =
5.Difficile
mc = me​ mod n274m = cd​ mod n?(n, e) = (407, 23)d

Une clé RSA utilise p = 11, q = 37 et e = 23. Déchiffrez le chiffré c = 274 : trouvez le message m.

p = 11q = 37e = 23c = 274
m =
6.Difficile
mc = me​ mod n734m = cd​ mod n?(n, e) = (1333, 11)d

Une clé RSA utilise p = 31, q = 43 et e = 11. Déchiffrez le chiffré c = 734 : trouvez le message m.

p = 31q = 43e = 11c = 734
m =

Corrigé

  1. 1. lcm(561, 476) = 15708
  2. 2. gcd(120, 14) = 2
  3. 3. φ(513) = 324
  4. 4. 43−1 mod 61 = 44
  5. 5. m = 241
  6. 6. m = 1066

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