Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Trouvez (548·180) mod 11 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 11
(548·180) mod 11 =
2.Facile

Trouvez 191² mod 7 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 7
191² mod 7 =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 20 modulo 71 : le nombre x avec 0 < x < 71 et 20·x ≡ 1 (mod 71).

a = 20n = 71
20−1 mod 71 =
4.Moyen

Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(175), le nombre d’entiers de 1 à 175 premiers avec 175.

n = 175 = 52·7
φ(175) =
5.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (713, 23)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 23 et q = 31 et l’exposant public e = 23. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 23q = 31e = 23
d =
6.Difficile

71 est premier. Utilisez le petit théorème de Fermat pour trouver 264761 mod 71.

p = 71k = 64761
264761 mod 71 =

Corrigé

  1. 1. (548·180) mod 11 = 3
  2. 2. 191² mod 7 = 4
  3. 3. 20−1 mod 71 = 32
  4. 4. φ(175) = 120
  5. 5. d = 287
  6. 6. 264761 mod 71 = 60

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