Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Trouvez 322² mod 12 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 12
322² mod 12 =
2.Facile
aqbr364=?·169+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(364, 169).

a = 364b = 169
gcd(364, 169) =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 3 modulo 11 : le nombre x avec 0 < x < 11 et 3·x ≡ 1 (mod 11).

a = 3n = 11
3−1 mod 11 =
4.Moyen

Résolvez 3x ≡ 8 (mod 11). Donnez la solution x avec 0 < x < 11.

3x ≡ 8 (mod 11)
x =
5.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (215, 17)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 5 et q = 43 et l’exposant public e = 17. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 5q = 43e = 17
d =
6.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (799, 5)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 17 et q = 47 et l’exposant public e = 5. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 17q = 47e = 5
d =

Corrigé

  1. 1. 322² mod 12 = 4
  2. 2. gcd(364, 169) = 13
  3. 3. 3−1 mod 11 = 4
  4. 4. x = 10
  5. 5. d = 89
  6. 6. d = 589

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