Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
aqbr507=?·52+??=?·?+??=?·?+?

Trouvez le plus petit commun multiple lcm(507, 52). Utilisez d’abord l’algorithme d’Euclide pour le pgcd.

a = 507b = 52
lcm(507, 52) =
2.Facile
aqbr945=?·483+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(945, 483).

a = 945b = 483
gcd(945, 483) =
3.Moyen

Résolvez 50x ≡ 48 (mod 69). Donnez la solution x avec 0 < x < 69.

50x ≡ 48 (mod 69)
x =
4.Moyen

Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(40), le nombre d’entiers de 1 à 40 premiers avec 40.

n = 40 = 23·5
φ(40) =
5.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (437, 7)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 19 et q = 23 et l’exposant public e = 7. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 19q = 23e = 7
d =
6.Difficile
mc = me​ mod n59m = cd​ mod n?(n, e) = (85, 11)d

Une clé RSA utilise p = 5, q = 17 et e = 11. Déchiffrez le chiffré c = 59 : trouvez le message m.

p = 5q = 17e = 11c = 59
m =

Corrigé

  1. 1. lcm(507, 52) = 2028
  2. 2. gcd(945, 483) = 21
  3. 3. x = 12
  4. 4. φ(40) = 16
  5. 5. d = 283
  6. 6. m = 19

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