Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
aqbr1416=?·1176+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(1416, 1176).

a = 1416b = 1176
gcd(1416, 1176) =
2.Facile
012345678mod 9

Trouvez 237 mod 9, le reste r avec 0 ≤ r < 9.

a = 237n = 9
237 mod 9 =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 20 modulo 29 : le nombre x avec 0 < x < 29 et 20·x ≡ 1 (mod 29).

a = 20n = 29
20−1 mod 29 =
4.Moyen

Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(153), le nombre d’entiers de 1 à 153 premiers avec 153.

n = 153 = 32·17
φ(153) =
5.Difficile

47 est premier. Utilisez le petit théorème de Fermat pour trouver 31833 mod 47.

p = 47k = 1833
31833 mod 47 =
6.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (203, 5)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 7 et q = 29 et l’exposant public e = 5. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 7q = 29e = 5
d =

Corrigé

  1. 1. gcd(1416, 1176) = 24
  2. 2. 237 mod 9 = 3
  3. 3. 20−1 mod 29 = 16
  4. 4. φ(153) = 96
  5. 5. 31833 mod 47 = 32
  6. 6. d = 101

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