Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
0123mod 4

Trouvez 589 mod 4, le reste r avec 0 ≤ r < 4.

a = 589n = 4
589 mod 4 =
2.Facile
aqbr378=?·153+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(378, 153).

a = 378b = 153
gcd(378, 153) =
3.Moyen

Résolvez 11x ≡ 48 (mod 49). Donnez la solution x avec 0 < x < 49.

11x ≡ 48 (mod 49)
x =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 22 modulo 37 : le nombre x avec 0 < x < 37 et 22·x ≡ 1 (mod 37).

a = 22n = 37
22−1 mod 37 =
5.Difficile
8c = me​ mod n?m = cd​ mod nm(n, e) = (209, 17)d

Chiffre le message m = 8 avec la clé publique RSA (n, e) = (209, 17). Trouvez le chiffré c.

n = 209e = 17m = 8
c =
6.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (893, 17)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 19 et q = 47 et l’exposant public e = 17. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 19q = 47e = 17
d =

Corrigé

  1. 1. 589 mod 4 = 1
  2. 2. gcd(378, 153) = 9
  3. 3. x = 40
  4. 4. 22−1 mod 37 = 32
  5. 5. c = 145
  6. 6. d = 341

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