Fiche d’exercices de Optimisation avec corrigé

On fabrique une boîte ouverte à partir d’une feuille de carton carrée de 30 cm × 30 cm en découpant aux quatre coins des carrés égaux de côté x, puis en relevant les bords. Trouvez le plus grand volume possible V.

Un enclos rectangulaire est clôturé avec 72 m de clôture et divisé en deux parties par une clôture supplémentaire parallèle aux côtés de longueur x (au total, trois clôtures de longueur x et deux de longueur y). Trouvez la plus grande aire totale A que l’on peut clôturer.

Un terrain rectangulaire de 800 m² est clôturé sur ses quatre côtés. Le côté le long de la rue, de longueur x, coûte 15 € par mètre ; les trois autres côtés coûtent 8 € par mètre. Trouvez le coût total minimal C.

Une boîte ouverte (sans couvercle) à base carrée doit contenir 500 cm³. Utilisez le moins de matière possible, c’est-à-dire la plus petite aire du fond plus les quatre côtés. Trouvez la hauteur h.

Une petite entreprise vend son produit au prix de marché fixe de 55 € par unité. Produire q unités coûte C(q) = 12700 + 10q + 0,02q² euros. Trouvez la production q qui maximise le bénéfice.

Un théâtre vend 750 billets par représentation à 12 € l’unité. Une étude de marché montre que chaque hausse de 1 € du prix du billet fait vendre 25 billets de moins (et chaque baisse de 1 €, 25 de plus). Trouvez la recette maximale R par représentation.